武庫豊町校お知らせ・ブログ

こんにちは！

STAR UP長居校の松下です！

 

本日は中学一年生で習う

「正多面体の種類と性質」についてご紹介しますね。

 

多面体・正多面体とは

多面体とは、複数の平面で囲まれた立体図形です。

円柱や円錐のように曲面が含まれる立体は多面体ではありませんが、立体を構成する面がどんな図

形でもそれが平面なら多面体といいます。

角柱や角錐などは、「多面体」という言い方もあるので注意しましょう。

凹凸があったり、いろんな平面を組み合わせたものも多面体となるので、その種類は無数です…。

多面体の中でも、同じ大きさの正多角形（正三角形・正方形・正五角形）で囲まれた立体を『正多面体』と言います。

多面体は無数に存在するのに対し、正多面体は以下の5つしか存在しません。

『正四面体』『正六面体（立方体）』『正八面体』『正十二面体』『正二十面体』です。

 

正多面体の性質

正多面体の問題では、面の形・面の数・頂点の数・辺の数などが聞かれます。

それぞれの名前は「面の数」に由来します。

面が4つの正多面体は正四面体、面が6つの正多面体は正六面体、といった感じです。

なので正多面体の面の数が問われても簡単に答える事ができます。問題は辺の数と頂点の数です。

 

正多面体の辺の数

正多面体の辺の数は、以下の公式で求められます。

（辺の数）＝（面の辺の数）×（面の数）÷2

正四面体について考えてみましょう。

面の形は正三角形なので「面の辺の数は3」、正四面体なので「面の数は4」。

⇒（辺の数）＝3×4÷2＝6となります。

 

正多面体の頂点の数

正多面体の頂点の数です。以下の公式で求められます。

（頂点の数）＝（面の頂点の数）×（面の数）÷（1点に集まる面の数）

正四面体について考えてみましょう。

面の形は正三角形なので「面の頂点の数は3」、正四面体なので「面の数は4」、1点に集まる面の

数「3」。⇒（辺の数）＝3×4÷3＝4

 

多面体の面・辺・頂点の数の関係式

多面体の「面の数」、「辺の数」、「頂点の数」を表す関係式があります。

（頂点の数）-（辺の数）+（面の数）＝2

正四面体⇒（頂点：4）-（辺：6）+（面：4）＝2

正六面体⇒（頂点：8）-（辺：12）+（面：6）＝2

正八面体⇒（頂点：6）-（辺：12）+（面：8）＝2

正十二面体⇒（頂点：20）-（辺：30）+（面：12）＝2

正二十面体⇒（頂点：12）-（辺：30）+（面：20）＝2

 

正多面体の公式まとめ

最後に正多面体の公式をまとめます。

（辺の数）＝（面の辺の数）×（面の数）÷2

（頂点の数）＝（面の頂点の数）×（面の数）÷（1点に集まる面の数）

（頂点の数）-（辺の数）+（面の数）＝2

 

以上で正多面体の種類と性質についてご紹介しました。

公式を覚えたら解けますが、1つ1つ意味を理解した上で使わないと意味がありません。

またこういった事を紹介させて頂きますので、是非ご覧ください。

 

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